正の整数と負の整数の和について，次の性質が成り立ちます．
◇ 正の整数と負の整数の和 ◇
\( l,m,n \) を自然数とする．
- ① \( m+(-n)=(-n)+m \)
- ② \( \{l+(-m)\}+n=(l+n)+(-m) \)
- ③ \( \{l+(-m)\}+(-n)=l+\{-(m+n)\} \)
①は「正の整数と負の整数の和は交換できる」ということを表します．これは，\( m \) と \( n \) の大小関係で分けて次のように証明できます．
①
・\( m\gt n \) のとき，\( m+(-n)=m-n=(-n)+m \)
・\( m=n \) のとき，\( m+(-n)=0=(-n)+m \)
・\( m\lt n \) のとき，\( m+(-n)=-(n-m)=(-n)+m \)
以上から，\( m+(-n)=(-n)+m \) である．■
②も同様に，大小関係で分けて次のように証明できます．
②
(i) \( l\gt m \) のとき，\( l+n\gt l\gt m \) であるから，
\( \{l+(-m)\}+n =(l-m)+n\)
\( =(l+n)-m\)
\( =(l+n)+(-m) \)
(ii) \( l=m \) のとき，\( l+n=m+n\gt m \) であるから，
\( \{l+(-m)\}+n=0+n=n\)
\( =(m+n)-m\)
\( =(l+n)+(-m) \)
(iii) \( l\lt m\lt l+n \) のとき，\( m-l\lt n \) であるから，
\( \{l+(-m)\}+n=\{-(m-l)\}+n\)
\( =n-(m-l)\)
\( =(l+n)-m\)
\( =(l+n)+(-m) \)
(iv) \( m=l+n \) のとき，\( m=l+n\gt l \)，\( n=m-l \) であるから，
\( \{l+(-m)\}+n=\{-(m-l)\}+n\)
\(=0=(l+n)+(-m) \)
(v) \( m\gt l+n \) のとき，\( m\gt l+n\gt l \)，\( m-l\gt n \) であるから，
\( \{l+(-m)\}+n=\{-(m-l)\}+n\)
\(=-\{(m-l)-n\}\)
\(=-\left\{m-(l+n) \right\}\)
\(=(l+n)+(-m) \) ■
③も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
③を証明せよ．
解説
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