整数の範囲では加法に関する逆元 (加えたら0になる数) が存在します．
◇加法に関する逆元◇
$x$ を整数とする．
- ① $x+m=m+x=0$ となる整数 $m$ がただ1つ存在する．
- ② ①の $m$ を $-x$ で表す．
- ③ $-(-x)=x$
①について，存在することは $x$ の正負で分けて証明できます．
$n$ を自然数とする．
$x=n$ のとき $x+(-n)=(-n)+x=0$，
$x=0$ のとき $x+0=0+x=0$，
$x=-n$ のとき $x+n=n+x=0$
である．
よって，すべての整数 $x$ に対し，$x+m=m+x=0$ となる整数 $m$ が存在する．
ただ1つであることを示すには，$x+m=m+x=0$，$x+m^{\prime}=m^{\prime}+x=0$ から $m=m^{\prime}$ を導けばよいです．これは次のように証明できます．
整数 $m,m^{\prime}$ が$ x+m=m+x=0$，$x+m^{\prime}=m^{\prime}+x=0$ を満たすと
き，
$m=m+0$
$=m+(x+m^{\prime} )$
$=(m+x)+m^{\prime}$
$=0+m^{\prime}$
$=m^{\prime}$
であるから，$x+m=m+x=0$ となる整数 $m$ はただ1つである．■
①の $m$ を $-x$ と表しますが，$x$ が自然数の場合は負の整数の定義の通りです．$x$ が負の整数のとき，例えば $-2$ の逆元は$2$なので，$-(-2)=2$ です．
$(-2)+2=2+(-2)=0$ であるから，$-(-2)=2$
一般に③の$ -(-x)=x$ が成り立ちますが，証明は練習問題にします．
練習問題
③を証明せよ．
解説
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