加法に関する逆元を用いて整数の減法が定義できます．整数の範囲では，いつでも引き算ができます．
◇整数の減法◇
$x,y$ を整数とする．
- ① $x-y$ を $x+(-y)$ で定める．
- ② $x=y+m$ となる整数 $m$ は $x-y$ のみである．
例えば $5-8$ や $3-(-4)$ は，次のように計算します．
- (1) $5-8=5+(-8)=-(8-5)=-3$
- (2) $3-(-4)=3+{-(-4)}=3+4=7$
また，複数の加法や減法を考えるときは，減法 $-a$ を加法 $+(-a) $ にして計算します．例えば，$8-(-2)-3$ は次のように計算します．このように定めることで，$\{8-(-2)\}-3$ の $\{\ \}$ を省くことができます．
$8-(-2)-3$
$=8+\{-(-2)\}+(-3)$
$=8+2+(-3)$
$=10+(-3)=7$
②について，$m=x-y$ のとき $x=y+m $が成り立つことは，$x-y$ の定義から分かります．逆に，$x=y+m$ から $m=x-y$ を導くことで，$m=x-y$ のみであることが分かります．
$m=x-y$ のとき，
$y+m=y+(x-y)$
$=y+x+(-y)$
$=x+y+(-y)$
$=x+0=x$
であるから，$x=y+m$ が成り立つ．
逆に，整数 $m$ が $x=y+m$ を満たすとき，
$m=0+m$
$=(-y)+y+m$
$=(-y)+x$
$=x+(-y)$
$=x-y$
であるから，$x=y+m$ を満たす整数 $m$ は $x-y$ のみである．■
この証明では $x=y+m$ の両辺に $-y$ を加えて $x-y=m$ を導きました．このように，加法に関する逆元を加えて，右辺の $y$ の項を左辺に移すことを移項といいます．
整数の減法を定義しましたが，②から自然数の減法の定義に矛盾しないことが分かります．例えば $8-5$ は，自然数の減法の定義では，$8=5+n$となる $n $を表し，整数の減法の定義では$ 8+(-5) $ を表しますが，どちらの定義でも同じ値になります．このように，矛盾なく定義されていることを well‐defined であるといいます．
練習問題
次の式を計算せよ．
(1) $9-12$ (2) $ -15-(-7)$ (3) $ 9-17-(-13)+5$
解説
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