[2-16] 乗法に関する簡約法則と整数の除法 - 数学マスターに俺はなる！

整数の乗法について簡約法則が成り立つので，自然数と同様に除法を定義できます．

◇乗法に関する簡約法則と整数の除法◇

$x,y,$ z を整数とする．

例えば $1⋅0=2⋅0$ なので， $z=0$ のときは簡約法則は成り立ちません．
$z≠0$ のとき， $z>0$ または $z<0$ なので，乗法と順序の性質から $x≠y$ のとき $xz≠yz$ ，つまり簡約法則が成り立ちます．

① $xz=yz$ のとき， $x>y$ と仮定すると， $z>0$ なら $xz>yz$ ， $z<0$ なら $xz<yz$ であるが，これは $xz=yz$ であることに矛盾する．
よって， $x≦y$ であり，同様に $x≧y$ であるから， $x=y$ である．■

②を示すには，2つを考えてそれらが一致すること，つまり， $x=yn=yn^{\prime}$ から $n=n^{\prime}$ を導けばよいです．交換法則から $ny=n^{\prime} y$ と変形できるので，①から $n=n^{\prime}$ が導けます．

② 整数 $m,m^{\prime}$ が $x=ym=ym^{\prime}$ を満たすとき， $my=m^{\prime} y$ ， $y≠0$ であるから，①より $m=m^{\prime}$ である．■

②により，整数の割り算が定義できます．例えば， $24÷(-4)$ や $(-56)÷(-7)$ は次のように計算できます．

整数 $x,y (y≠0)$ に対し， $x=ym$ となる整数 $m$ が存在しないこともあるので，整数の範囲で常に $x÷y$ が定義されるというわけではありません．例えば， $7=(-2)⋅m$ となる整数 $m$ は存在しないので，整数の範囲で $7÷(-2)$ は定義されません．

練習問題

次の式を計算せよ．
(1) $42÷(-6)$ 　(2) $(-91)÷(-13)$ 　(3) $(-2021)÷47$

解説

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(1) について， $42=(-6)⋅(-7)$ なので， $42÷(-6)=-7$ です．(2),(3) も同様に求められます．

(1) $42=(-6)⋅(-7)$ であるから， $42÷(-6)=-7$ (答)
(2) $-91=(-13)⋅7$ であるから， $(-91)÷(-13)=7$ (答)
(3) $-2021=47⋅(-43)$ であるから， $(-2021)÷47=-43$ (答)