整数の乗法について簡約法則が成り立つので，自然数と同様に除法を定義できます．
◇乗法に関する簡約法則と整数の除法◇
$x,y,$z を整数とする．
- ① $xz=yz$，$z≠0$ のとき $x=y$ [簡約法則]
- ② $y≠0$ とする．$x=ym$ となる整数 $m$ が存在するとき，このような $m$ はただ1つである．
- ③ ②の $m$ を $x÷y$ で表す．
例えば$1⋅0=2⋅0$ なので，$z=0$ のときは簡約法則は成り立ちません．
$z≠0$ のとき，$z>0$ または $z<0$ なので，乗法と順序の性質から $x≠y$のとき $xz≠yz$，つまり簡約法則が成り立ちます．
- ① $xz=yz$ のとき，$x>y$ と仮定すると，$z>0$ なら $xz>yz$，$z<0$なら $xz<yz$ であるが，これは $xz=yz$ であることに矛盾する．
よって，$x≦y$ であり，同様に $x≧y$ であるから，$x=y$ である．■
②を示すには，2つを考えてそれらが一致すること，つまり，$x=yn=yn^{\prime}$ から $n=n^{\prime}$ を導けばよいです．交換法則から$ ny=n^{\prime} y$ と変形できるので，①から $n=n^{\prime} $ が導けます．
- ② 整数 $m,m^{\prime}$ が $x=ym=ym^{\prime}$ を満たすとき，$my=m^{\prime} y$，$y≠0$ であるから，①より $m=m^{\prime} $ である．■
②により，整数の割り算が定義できます．例えば，$24÷(-4) $ や $(-56)÷(-7)$ は次のように計算できます．
- (1) $ 24=(-4)⋅(-6)$ であるから，$24÷(-4)=-6$ である．
- (2) $-56=(-7)⋅8$ であるから，$(-56)÷(-7)=8$ である．
整数 $x,y (y≠0)$ に対し，$x=ym$ となる整数 $m$ が存在しないこともあるので，整数の範囲で常に $x÷y$ が定義されるというわけではありません．例えば，$7=(-2)⋅m$ となる整数 $m$ は存在しないので，整数の範囲で $7÷(-2)$ は定義されません．
練習問題
次の式を計算せよ．
(1) $42÷(-6)$ (2) $(-91)÷(-13)$ (3) $(-2021)÷47$
解説
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