分配法則も成り立ちます．
◇ 分配法則 ◇
\( l, m, n \) を自然数，\( x, y, z \) を整数とする．
- ① \( \left\{l+(-m)\right\} \cdot n = l \cdot n + \{(-m) \cdot n\} \)
- ② \( \{l+(-m)\} \cdot (-n) = l \cdot (-n) + \{(-m) \cdot (-n)\} \)
- ③ \( (x+y)z = xz + yz, \, x(y+z) = xy + xz \) [分配法則]
分配法則を用いることで，次のように工夫して計算できます
\( (-13) \cdot 17 + (-13) \cdot (-37) = (-13) \cdot (17-37) = 13 \cdot 20 = 260 \)
①は \( x, z \) が正の整数で \( y \) が負の整数，②は \( x \) が正の整数で \( y, z \) が負の整数のときの分配法則\( (x+y)z = xz + yz \) を表します．①は \( l \) と \( m \) の大小関係で分けて次のように証明できます．
①(i) \( l \gt m \) のとき，
\( \{l+(-m)\} \cdot n = (l-m)n = (l-m)n + mn + (-mn) \)
\( = \{(l-m)+m\}n + (-mn) = l \cdot n + \{(-m) \cdot n\} \)
(ii) \( l=m \) のとき，
\( \{l+(-m)\} \cdot n = 0 \cdot n = 0 \)
\( = mn + (-mn) = l \cdot n + \{(-m) \cdot n\} \)
(iii) \( l \lt m \) のとき，\( ln \lt mn \) であるから，
\( \{l+(-m)\} \cdot n = \{-(m-l)\} \cdot n = -\{(m-l)n\} \)
\( = -(mn-ln)=ln +(-mn )= l \cdot n + \{(-m) \cdot n\} \) ■
②も同様に示せますが，証明は練習問題にします．③は \( x, y, z \) の正負で分けて次のように証明できます．\( x, y, z \) が正，\( x, z \) が正で \( y \) が負，\( x \) が正で \( y, z \) が負の場合は既に示されていますので，残りの場合を調べます．
③ (i) \( x = 0 \) のとき，\( (x + y)z = yz = xz + yz \)
(ii) \( z = 0 \) のとき，\( (x + y)z = 0 = xz + yz \)
(iii) 自然数 \( l, m, n \) に対し，
・ \( (l + m) \cdot (-n) = - \{(l + m)n\} = - (ln + mn) \)
\( = (-ln) + (-mn) = l \cdot (-n) + m \cdot (-n) \)
・ \( \{(-l) + (-m)\} \cdot n = \{-(l + m)\} \cdot n = \{-(l + m)n\} \)
\( = (l + m) \cdot (-n) = l \cdot (-n) + m \cdot (-n) \)
・ \( \{(-l) + (-m)\} \cdot (-n) = \{- (l + m)\} \cdot (-n) = (l + m)n\)
\( = ln + mn =( -l) \cdot (-n) + (-m) \cdot (-n) \)
であるから，\( x, y \) が正で \( z \) が負，\( x, y \) が負で \( z \) が正，\( x, y, z \) が負のいずれかのとき，\( (x + y)z = xz + yz \)
(iv) \( y = 0 \)，\( x \) が負で \( y, z \) が正，\( x, z \) が負で \( y \) が正のいずれかのとき，\( (x + y)z = (y + x)z = yz + xz = xz + yz \)■
\( x(y + z) = xy + xz \) は \( (x + y)z = xz + yz \) を用いて示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
(1) \( (-29) \times 17 + 42 \times (-23) - 17 \times 13 \) を計算せよ．
(2) ②を証明せよ．
(3)整数 \( x, y, z \) に対し，\( x(y + z) = xy + xz \) が成り立つことを証明せよ．
解説
| 前の記事へ [2-9] 整数の乗法の性質 | 次の記事へ [2-11] 整数の乗法と加法に関する逆元 |
| 本シリーズの記事一覧へ 厳密に学ぶ高校数学 一覧 | |
| トップページへ 数学マスターに俺はなるTOP | |