[2-13] 整数の順序の基本性質

整数の順序について，自然数と同様の性質が成り立ちます．

これらの性質は，順序の定義に従って次のように証明できます．

③は同じ数を足しても引いても大小関係は変わらないことを表します．例えば，$x+z<y+z$ のとき，両辺に $-z$ を加えると $x<y$ であることが分かります．つまり，加法に関する簡約法則が成り立ちます．また，$x<y$ のとき，両辺に $-x$ を加えると$ 0<y-x$ であることが分かります．つまり，不等式でも移項ができます．証明は①,②と同様にできますが，練習問題にします．

また，$y-x$，$z-y$ がともに非負整数のとき，$(y-x)+(z-y)=z-x$も非負整数なので，②に等号を含めた「$x≦y$，$y≦z$ のとき，$x≦z$」も成り立ちます．③についても同様に「$x≦y$ のとき，$x+z≦y+z$，$x-z≦y-z$」も成り立ちます．