自然数が $1，1+1，2+1，⋯ $と表されることに注目した証明法が次の数学的帰納法です．
◇数学的帰納法◇
自然数 $n$ に関する性質 $P$ について，
- ㋐ $n=1$ のとき $P$ が成り立つ
- ㋑ $n=k$ のとき $P$ が成り立つと仮定すると，
$n=k+1$ のときも $P$ が成り立つ
の2つが成り立つとき，$P$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ．
自然数は英語で natural number というので，自然数を表すときに $n$ を使うことが多いです．また，数学的な性質を命題といい，命題は英語でproposition というので，数学的な性質は $P$ で表すことが多いです．
㋑で $k=1$ の場合を考えると，「$n=1$ で $P$ が成り立てば，$n=2$ でも$P$ が成り立つ」ということが分かります．よって，㋐と合わせて $n=2$ で $P$ が成り立つことが分かります．
㋑で $k=2$ の場合を考えると，「$n=2$ で $P$ が成り立てば，$n=3$ でも $P$ が成り立つ」ということが分かります．$n=2$ で $P$ は成り立つので，$n=3$ で $P$ が成り立つことが分かります．これを繰り返すことで，すべての自然数 $n$ で $P$ が成り立つことが分かります．
これから自然数の性質を調べていきますが，その証明では数学的帰納法を用いることが多いです．
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