自然数の順序の定義から，次の性質が成り立つことがすぐに分かります．
◇自然数の順序の基本性質◇
$x,y,z$ を自然数とする．
- ① $x≦x$ [反射律]
- ② $x<y，y<z$ のとき，$x<z$ [推移律]
- ③ $x<y$ のとき，$x+z<y+z$
- ④ $x+z<y+z$ のとき，$x<y$ [簡約法則]
①について，$x=x$ なので「$x=x$ または $x<x$」が成り立ち，$x≦x$ であることが分かります．
① $x=x$ であるから，$x≦x$ である．■
②について，$x<y，y<z$ のとき，$x+m=y$，$y+n=z$ となる自然数$m,n$ が存在します．$z=x+(m+n)$ なので，$x<z $であることが分かります．
- ② $x<y，y<z $のとき，$x+m=y，y+n=z$ を満たす自然数 $m,n $が存在する．$z=(x+m)+n=x+(m+n) $ であるから，$x<z$ である．■
③,④は，同じ数を加えても大小関係は変わらないことを表します．①,②と同様に，順序の定義に従って証明できますが，証明は練習問題とします．
また，「$x=y，y≦z $のとき $x≦z$」，「$x≦y，y=z$ のとき $x≦z $」なので，②に等号を含めた「$x≦y$，$y≦z$ のとき，$x≦z$」も成り立ちます．③,④についても同様に「$x≦y$ のとき，$x+z≦y+z$」「$x+z≦y+z$ のとき，$x≦y$」も成り立ちます．
練習問題
(1) ③を証明せよ．
(2) ④を証明せよ．
解説
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