[1-3] 自然数の加法の性質

自然数の加法について，次の性質が成り立ちます．

$x+y+z $と書くと，$x+y$ と $y+z$ のどちらの「+」を先に計算するかが定まりませんが，結合法則は計算の順序によらず，結果が同じであることを表します．つまり，$x+y+z$ と括弧を省略して書くことができます．

交換法則は，計算の順序を入れ替えられることを表します．例えば，$13+29+37$ は $42+37=79$ と計算してもよいですが，次のように計算できます．

このように，順序を工夫することで，計算が簡単になることがあります．

結合法則は，$z$ についての数学的帰納法を用いて証明できます．$z=1$ の場合は加法の定義から成り立つことが分かります．

$z=k$ での成立を仮定し，$z=k+1$ の場合を考えると，加法の定義から$(x+y)+(k+1)={(x+y)+k}+1$ です．$(x+y)+k$ の部分に仮定が利用でき，$z=k+1$ での成立が確認できます．

交換法則も同様に帰納法で証明できますが，証明は練習問題とします．