自然数の加法について簡約法則が成り立ちます．また，このことから減法（引き算）を定義できます．
◇加法に関する簡約法則と自然数の減法◇
$x,y,z$ を自然数とする．
- ① $x+z=y+z$ のとき $x=y$ [簡約法則]
- ② $x=y+n$ となる自然数 $n$ が存在するとき，このような $n$ はただ1つである．
- ③ ②の $n$ を $x-y$ で表す．
簡約法則は「足して同じなら元々同じ」ということを表します．これは $z$ に関する数学的帰納法で証明できます．$1+1，2+1，⋯$ はすべて異なるので，$x+1=y+1$ のとき $x=y$ です．以下の証明ではこれを用いています．
- ① (i) $z=1$ のとき，$x+1=y+1$ であるから，$x=y$ である．
- (ii) $z=k$ のとき，①の成立を仮定し，$z=k+1$ のときを考える．
$x+(k+1)=y+(k+1)$ のとき，$(x+k)+1=(y+k)+1 $
であるから，$x+k=y+k $である．
仮定より $x=y$ であるから，$z=k+1$ のときも①は成立する．■
- (ii) $z=k$ のとき，①の成立を仮定し，$z=k+1$ のときを考える．
②を示すには，2つを考えてそれらが一致すること，つまり，$x=y+n=y+n^{'}$ から$ n=n^{'} $ を導けばよいです．交換法則から $n+y=n^{'}+y $と変形できるので，①から $n=n^{'} $ が導けます．
- ② 自然数 $n,n^{'}$ が $x=y+n=y+n^{'}$ を満たすとき，$n+y=n^{'}+y$であるから，①より $n=n^{'}$ である．■
②により，自然数の引き算が定義できます．例えば，$8-3$ や $16-7$ は次のように計算できます．
- (1) $8=3+5$ であるから，$8-3=5$ である．
- (2) $16=7+9$ であるから，$16-7=9$ である．
減法の計算結果を「差」といいます．例えば，$8$ と$3$の差は$5$です．
自然数 $x,y$ に対し，$x=y+n$ となる自然数 $n$ が存在しないこともあるので，自然数の範囲で常に x-y が定義されるというわけではありません．例えば，$2=5+n$ となる自然数 $n$ は存在しないので，自然数の範囲で $2-5$ は定義されません．
練習問題
次の式を計算せよ．
(1) $13-7$ (2) $83-56$ (3) $264-187$
解説
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