$1$は最小の自然数です．これに関して次の性質が成り立ちます．
◇自然数の順序の性質◇
$x,y$ を自然数とする．
- ① $x≧1$
- ② $x<y+1$ のとき，$x≦y$
- ③ $x<y$ のとき，$x+1≦y$
①は $x=1$ または $x>1$ であること，つまり $x≠1$ なら $x>1$ であることを表します．$x≠1$ のとき，$x$ は $2=1+1，3=2+1，⋯$ のいずれかなので，$x=n+1$ と表され $x>1$ であることが分かります．
- ① $x≠1$ のとき，$x$ は $2=1+1，3=2+1，⋯$ のいずれかであるから $x>1$ である．よって，$x≧1$ である．■
②について，$x<y+1$ のとき，$y+1=x+n$ と表されます．①より，$n≧1$ なので，$y+1=x+n≧x+1$ であり，簡約法則から $x≦y$ であることが分かります．
- ② $x<y+1$ のとき，$x+n=y+1$ を満たす自然数 $n$ が存在する．
$n≧1$ より，$y+1=x+n≧x+1$ であるから，$x≦y$ である．■
③は②と同様に示せますが，②を用いて示すこともできます．証明は練習問題とします．
練習問題
③を証明せよ．
解説
| 前の記事へ [1-6] 自然数の順序の基本性質 | 次の記事へ [1-8] 三分律・反対称律 |
| 本シリーズの記事一覧へ 厳密に学ぶ高校数学 一覧 | |
| トップページへ 数学マスターに俺はなるTOP | |