[1-7] 1の最小性 - 数学マスターに俺はなる！

$1$ は最小の自然数です．これに関して次の性質が成り立ちます．

◇自然数の順序の性質◇

$x,y$ を自然数とする．

①は $x=1$ または $x>1$ であること，つまり $x≠1$ なら $x>1$ であることを表します． $x≠1$ のとき， $x$ は $2=1+1，3=2+1，⋯$ のいずれかなので， $x=n+1$ と表され $x>1$ であることが分かります．

②について， $x<y+1$ のとき， $y+1=x+n$ と表されます．①より， $n≧1$ なので， $y+1=x+n≧x+1$ であり，簡約法則から $x≦y$ であることが分かります．

② $x<y+1$ のとき， $x+n=y+1$ を満たす自然数 $n$ が存在する．
$n≧1$ より， $y+1=x+n≧x+1$ であるから， $x≦y$ である．■

③は②と同様に示せますが，②を用いて示すこともできます．証明は練習問題とします．

練習問題

③を証明せよ．

解説

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$x<y$ のとき， $x+1<y+1$ なので，②を用いて $x+1≦y$ であることが分かります．

$x<y$ のとき， $x+1<y+1$ であるから，②より $x+1≦y$ である．■

②の証明と同様に，順序の定義と①を用いて示すこともできます．

$x<y$ のとき， $x+n=y$ を満たす自然数 $n$ が存在する．
$n≧1$ であるから， $y=x+n≧x+1$ である．■