[1-8] 三分律・反対称律

これまでに示した順序の性質を用いることで，2つの自然数の大小比較ができることが分かります．

三分律は，$2$つの自然数の大小比較ができることを表します．感覚的には明らかですが，証明はそれほど簡単ではありません．まずは，少なくとも$1$つが成り立つことを $y$ についての数学的帰納法で証明します．$y=1$の場合は $x≧1$ であることから $x=y$ または $x>y$ が成り立ちます．

$y=k$ での成立を仮定し，$y=k+1$ での成立を示します．つまり，「$x<k$ または $x=k$ または $x>k$」を仮定し「$x<k+1$ または $x=k+1$ または $x>k+1$」を示します．

$x<k $のときは，$x+1<k+1 $であり，$x<x+1$ と推移律から $x<k+1$ であることが分かります．$x=k$ のときは，$x=k<k+1$ が成り立ちます．$x>k$ のときは，$x≧k+1$ なので $x=k+1$ または $x>k+1$ です．

次に，同時には成り立たないことを証明します．その際に$x+y≠x$ を用いるので，準備としてこれを $x$ についての数学的帰納法で証明します．
まず $x=1$の場合の $1+y≠1$ を示しますが，$1+1=2，2+1=3，⋯$はいずれも$1$と異なる数なので，$y+1≠1 $が成り立ちます．

$k+y≠k$ を仮定して $(k+1)+y≠k+1$ を示します．($k+1)+y=k+1 $とすると，$(k+y)+1=k+1$ なので，簡約法則から $k+y=k$となり仮定に反するので $(k+1)+y≠k+1 $が成り立ちます．

本題の同時には成り立たないことを証明します．$x<y$ と $x=y$ が同時に成り立つと仮定すると，$x<y=x$ であり，$x+n=x$ となる自然数 $n $が存在することになり㋑に反します．よって，$x<y $と $x=y$ は同時には成り立ちません．他の場合についても同様です．

②は①からすぐに得られますが，証明は練習問題とします．