自然数の乗法について簡約法則が成り立ちます．また，このことから除法（割り算）を定義できます．
◇乗法に関する簡約法則と自然数の除法◇
$x,y,z$ を自然数とする．
- ① $xz=yz$ のとき $x=y$ [簡約法則]
- ② $x=yn$ となる自然数 $n$ が存在するとき，このような $n$ はただ$1$つである．
- ③ ②の $n$ を $x÷y $で表す．
簡約法則は「かけて同じなら元々同じ」ということを表します．$x>y$ のとき $xz>yz$，$x<y$ のとき $xz<yz$ となるので，$xz=yz$ となるのは$x=y$ のときのみです．
- ① $xz=yz$ のとき，$x>y$ と仮定すると $xz>yz$ であるが，これは $xz=yz$ であることに矛盾する．
よって，$x≦y$ であり，同様に $x≧y$ であるから，$x=y$ である．■
②を示すには，$2$つを考えてそれらが一致すること，つまり，$x=yn=yn{'}$ から $n=n{'}$ を導けばよいです．交換法則から $ny=n{'} y$ と変形できるので，①から $n=n{'}$ が導けます．
- ② 自然数 $n,n{'}$ が $x=yn=yn{'}$ を満たすとき，$ny=n{'} y$ であるから，①より $n=n{'}$ である．■
②により，自然数の割り算が定義できます．例えば，$24÷3$ や $56÷8$ は次のように計算できます．
- (1) $24=3⋅8$ であるから，$24÷3=8$ である．
- (2) $56=8⋅7$ であるから，$56÷8=7$ である．
除法の計算結果を「商」といいます．例えば，24 と3の商は8です．
ここまでに導入した加法，減法，乗法，除法の4つの演算をまとめて四則演算といいます．
自然数 $x,y$ に対し，$x=yn$ となる自然数 $n$ が存在しないこともあるので，自然数の範囲で常に x÷y が定義されるというわけではありません．
例えば，$7=3n$ となる自然数 $n$ は存在しないので，自然数の範囲で $7÷3$は定義されません．
練習問題
次の式を計算せよ．
(1) $42÷7$ (2) $91÷13$ (3) $2021÷43$
解説
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