[1-9] 累積帰納法 - 数学マスターに俺はなる！

これまでに示した順序の性質から，自然数は小さい順に $1,2,3,⋯$ であることが分かります．このことに注目することで，数学的帰納法の仮定を強めることができます．

◇累積帰納法◇

自然数 $n$ に関する性質 $P$ について，

㋐ $n=1$ のとき $P$ が成り立つ．
㋑ $n=1,2,⋯,k$ のとき $P$ が成り立つと仮定すると， $n=k+1$ のときも $P$ が成り立つ

の $2$ つが成り立つとき， $P$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ．

通常の数学的帰納法では $n=k$ のみを仮定しますが，累積帰納法では $n=1,2,⋯,k$ のすべてを仮定します．累積帰納法も数学的帰納法と呼ばれることが多いです．

自然数は小さい順に $1,2,⋯$ なので， $P$ が成り立たない $n$ があると仮定すると， $P$ が成り立たない最小の $n$ が存在します．これに注目することで，累積帰納法は次のように証明できます．

㋐,㋑の2つが成り立つとき，ある自然数 $n$ で $P$ が成り立たないと仮定し， $P$ が成り立たない $n$ の最小値を $n=m$ とする．
㋐より $m≧2$ であり， $n=1,2,⋯,m-1$ で $P$ は成り立つから，㋑より $n=m$ のときも $P$ が成り立つことになり矛盾する．■

§3で「すべての自然数が素因数分解できる」ということを証明しますが，その証明では累積帰納法を利用します．

練習問題

自然数 $n$ に関する性質 $P$ について，

㋐ $n=1,2$ のとき $P$ が成り立つ
㋑ $n=k,k+1$ のとき $P$ が成り立つと仮定すると， $n=k+2$ のときも $P$ が成り立つ

の $2$ つが成り立つとき， $P$ はすべての自然数 $n$ で成り立つことを証明せよ．

解説

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累積帰納法と同様に証明できます． $P$ が成り立たない $n$ があると仮定すると，最小の $n$ に注目することで矛盾が生じます．

㋐,㋑の $2$ つが成り立つとき，ある自然数 $n$ で $P$ が成り立たないと仮定し， $P$ が成り立たない $n$ の最小値を $n=m$ とする．
㋐より $m≧3$ であり， $n=m-2,m-1$ で $P$ は成り立つから，㋑より $n=m$ のときも $P$ が成り立つことになり矛盾する．■

本記事の動画解説(YouTube)はこちら→【厳密に学ぶ高校数学#10】[1-9]累積帰納法

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