これまでに示した順序の性質から，自然数は小さい順に $1,2,3,⋯$ であることが分かります．このことに注目することで，数学的帰納法の仮定を強めることができます．
◇累積帰納法◇
自然数 $n$ に関する性質 $P$ について，
- ㋐ $n=1$ のとき $P$ が成り立つ．
- ㋑ $n=1,2,⋯,k$ のとき $P$ が成り立つと仮定すると，$n=k+1$ のときも $P$ が成り立つ
の$2$つが成り立つとき，$P$ はすべての自然数 $n$ で成り立つ．
通常の数学的帰納法では $n=k$ のみを仮定しますが，累積帰納法では $n=1,2,⋯,k$ のすべてを仮定します．累積帰納法も数学的帰納法と呼ばれることが多いです．
自然数は小さい順に $1,2,⋯$ なので，$P$ が成り立たない $n$ があると仮定すると，$P$ が成り立たない最小の $n$ が存在します．これに注目することで，累積帰納法は次のように証明できます．
㋐,㋑の2つが成り立つとき，ある自然数 $n$ で $P$ が成り立たないと仮定し，$P$ が成り立たない $n$ の最小値を $n=m$ とする．
㋐より $m≧2$ であり，$n=1,2,⋯,m-1$ で $P$ は成り立つから，㋑より $n=m$ のときも $P$ が成り立つことになり矛盾する．■
§3で「すべての自然数が素因数分解できる」ということを証明しますが，その証明では累積帰納法を利用します．
練習問題
自然数 $n$ に関する性質 $P$ について，
- ㋐ $n=1,2$ のとき $P$ が成り立つ
- ㋑ $n=k,k+1$ のとき $P$ が成り立つと仮定すると，$n=k+2$ のときも $P$ が成り立つ
の$2$つが成り立つとき，$P$ はすべての自然数 $n$ で成り立つことを証明せよ．
解説
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