数といっても自然数，整数，有理数，…のように色々な数があります．このセクションでは，最も基本的な数である自然数について学んでいきます．
「3個」や「7番目」のように，個数や順番を表す際に用いる数が自然数です．自然数とその加法（足し算）を定義します．
◇ 自然数の加法 ◇
自然数の乗法について，次の性質が成り立ちます．
- ① $1⋅x=x⋅1=x$
- ② $(xy)z=x(yz)$ [結合法則]
- ③ $(x+y)z=xz+yz$，$x(y+z)=xy+xz$ [分配法則]
- ④ $xy=yx$ [交換法則]
加法の場合と同様に，結合法則により $xyz$ と括弧を省略して書くことができます．交換法則も同様に，計算の順序を入れ替えられることを表し，例えば $15×9×8$ は次のように計算できます．
$15×9×8=15×8×9=120×9=1080$
また，分配法則を用いると $13⋅17+37⋅17$ は次のように計算できます．
$13⋅17+37⋅17=(13+37)⋅17=50⋅17=850$
このように，交換法則や分配法則を用いることで，計算が簡単になることがあります．
①～④は乗法の定義に従って，次のように証明できます．
- ① $ 1⋅x=\underbrace{1+1+⋯+1}_{x 個}$
$=\underbrace{x}_{1 個}=x⋅1$ ■ - ② $(xy)z=\underbrace{xy+xy+⋯+xy}_{z 個}$
$=\underbrace{\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個}+\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個}+⋯+\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個} }_{z 個}$
$=\underbrace{x+x+⋯+x}_{\underbrace{y+y+⋯+y}_{z 個} \ 個}$
$=\underbrace{x+x+⋯+x}_{yz 個}=x(yz)$ ■
③,④も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
- (1) $15⋅7⋅8⋅6⋅25$ を計算せよ．
- (2) $37×11+13×28+17×37$ を計算せよ．
- (3) ③,④を証明せよ．
解説
本記事の動画解説(YouTube)はこちら→【厳密に学ぶ高校数学#12】[1-11]自然数の乗法の性質
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