[1-11] 自然数の乗法の性質 - 数学マスターに俺はなる！

数といっても自然数，整数，有理数，…のように色々な数があります．このセクションでは，最も基本的な数である自然数について学んでいきます．

「3個」や「7番目」のように，個数や順番を表す際に用いる数が自然数です．自然数とその加法（足し算）を定義します．

◇ 自然数の加法 ◇

自然数の乗法について，次の性質が成り立ちます．

加法の場合と同様に，結合法則により $xyz$ と括弧を省略して書くことができます．交換法則も同様に，計算の順序を入れ替えられることを表し，例えば $15×9×8$ は次のように計算できます．

$15×9×8=15×8×9=120×9=1080$

また，分配法則を用いると $13⋅17+37⋅17$ は次のように計算できます．

$13⋅17+37⋅17=(13+37)⋅17=50⋅17=850$

このように，交換法則や分配法則を用いることで，計算が簡単になることがあります．

①～④は乗法の定義に従って，次のように証明できます．

① $1⋅x=\underbrace{1+1+⋯+1}_{x 個}$
　　　 $=\underbrace{x}_{1 個}=x⋅1$ ■
② $(xy)z=\underbrace{xy+xy+⋯+xy}_{z 個}$
　　 $=\underbrace{\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個}+\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個}+⋯+\underbrace{(x+x+⋯+x) }_{y 個} }_{z 個}$
　　 $=\underbrace{x+x+⋯+x}_{\underbrace{y+y+⋯+y}_{z 個} \ 個}$
　　 $=\underbrace{x+x+⋯+x}_{yz 個}=x(yz)$ ■

③,④も同様に示せますが，証明は練習問題にします．

練習問題

解説

クリックして下さい

(1) $15⋅7⋅8⋅6⋅25$
　　 $=(15⋅6)⋅(8⋅25)⋅7$
　　 $=90⋅200⋅7$
　　 $=18000⋅7$
　　 $=126000$ (答)

(2) $37×11+17×37$ は交換法則と分配法則を用いて， $37×(11+17)$ と計算できます． $37×28+13×28$ を計算すればよいですが，分配法則を用いて $(37+13)×28$ と計算できます．

(2) $37×11+13×28+17×37$
　　 $=37×(11+17)+13×28$
　　 $=37×28+13×28$
　　 $=(37+13)×28$
　　 $=50×28$
　　 $=1400$ (答)

交換法則も $x+x+⋯+x=1⋅x+1⋅x+⋯+1⋅x$ とみて分配法則を用いることで証明できます．

④ $xy=\underbrace{x+x+⋯+x}_{y 個}$
　　 $=\underbrace{1⋅x+1⋅x+⋯+1⋅x}_{y 個}$
　　 $=\underbrace{(1+1+⋯+1) }_{y 個}⋅x$
　　 $=yx$ ■