自然数の乗法と順序について，次の性質が成り立ちます．
◇自然数の乗法と順序◇
$x,y,z$ を自然数とする．
- ① $x<y $のとき$ xz<yz$
- ② $xz<yz$ のとき，$x<y$ [簡約法則]
①,②は，同じ数をかけても大小関係は変わらないことを表します．①について，$x<y$ のとき $x+n=y$ を満たす自然数 $n$ が存在し，$z$ をかけると $yz=(x+n)z=xz+nz$ となるので，$xz<yz$ であることが分かります．
- ① $x<y$ のとき，$x+n=y$ を満たす自然数 $n$ が存在する．
$yz=(x+n)z=xz+nz$ であるから，$xz<yz$ である．■
②は三分律と①から示せますが，証明は練習問題とします．
練習問題
②を証明せよ．
解説
| 前の記事へ [1-11] 自然数の乗法の性質 | 次の記事へ [1-13] 乗法に関する簡約法則と自然数の除法 |
| 本シリーズの記事一覧へ 厳密に学ぶ高校数学 一覧 | |
| トップページへ 数学マスターに俺はなるTOP | |