整数の加法は，自然数の減法を用いて定義しました．自然数の減法について次の性質が成り立ちます．
◇ 自然数の減法の性質 ◇
\( l,m,n \) を自然数とする．
- ① \( m \gt n \) のとき，\( (m-n)+n=m \)
- ② \( (m+n)-m=n \)
- ③ \( l \gt m \) のとき，\( (l-m)+n=(l+n)-m \)
- ④ \( l \gt m+n \) のとき，\( (l-m)-n=l-(m+n) \)
- ⑤ \( n \lt m \lt l+n \) のとき，\( l-(m-n)=(l+n)-m \)
自然数 \( x,y,z \) に対し，\( z=x-y \) であることを示すためには，\( x=y+z \) であることを示せばよいです．
\( y+z=z+y \) なので，\( z+y=x \) であることが言えれば，\( z=x-y \) であることが分かります．
①について，\( m-n \) は「\( n \) を加えたら \( m \) になる数」なので，\( (m-n)+n=m \) が成り立ちます．
②について，「\( m \) を加えたら \( m+n \) になる数」は \( n \) なので，\( (m+n)-m=n \) が成り立ちます．
③以降も同様に証明できます．
- ① \( m-n \) の定義から，\( (m-n)+n=m \) である．■
- ② \( m+n=n+m \) であるから，\( (m+n)-m=n \) である．■
- ③ \( \{(l-m)+n\}+m=\{(l-m)+m\}+n=l+n \) であるから，\( (l-m)+n=(l+n)-m \) である．■
④，⑤も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
(1) ④を証明せよ．
(2) ⑤を証明せよ．
解説
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