整数の加法について，自然数と同様の性質が成り立ちます．
◇整数の加法の性質◇
$x,y,z$ を整数とする．
- ① $x+y=y+x$ [交換法則]
- ② $(x+y)+z=x+(y+z)$ [結合法則]
自然数の場合と同様に，結合法則により，$x+y+z$ と括弧を省略して書くことができます．また，交換法則により，計算の順序を入れ替えることができます．例えば，次のように工夫して計算できます．
$13+(-29)+37$
$=13+37+(-29)$
$=50+(-29)$
$=50-29=21$
交換法則は $x,y$ の正負で分けて，次のように証明できます．$x,y$ が自然数のときは既に示されているので，残りの場合を調べます．
- (i) 整数 $p$ に対し，$p+0=p=0+p$ であるから，$x,y$ の少なくとも一方が0のとき，$x+y=y+x$ である．
- (ii) 自然数 $m,n$ に対し，$m+(-n)=(-n)+m$ であるから，$x,y$ の一方が正でもう一方が負のとき，$x+y=y+x$ である．
- (iii) 自然数$ m,n$に対し，$(-m)+(-n)=-(m+n)=-(n+m)=(-n)+(-m)$ であるから，$x,y $が負のとき，$x+y=y+x$ である．■
結合法則も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
(1) $18+(-27)+43+(-62)+79$ を計算せよ．
(2) ②を証明せよ．
解説
クリックして下さい
- (1) 順番に計算してもよいですが，$18+43+79=140$，$(-27)+(-62)=-89$ を先に計算すると簡単になります．
(1) $18+(-27)+43+(-62)+79$
$=(18+43+79)+\{(-27)+(-62)\}$
$=140-89$
$=51$ (答)
- (2) 交換法則の証明と同様に，$x,y,z$ の正負で分けて調べればよいです．$x,y,z$ が自然数のときは既に示されているので，残りの場合を調べます．
(2)(i)整数 \(p, q\) に対し，
\(p + q = (p + q) + 0 = (p + 0) + q = (0 + p) + q\)
\(= p + (q + 0) = p + (0 + q) = 0 + (p + q)\)
であるから，\(x, y, z\) のうち少なくとも1つが0のとき，
\((x + y) + z = x + (y + z)\) である．
(ii) 自然数 \(l, m, n\) に対し，
・\((l + m) + (-n) = \{m + (-n)\} + l = l + \{m + (-n)\}\)
・\(\{l + (-m)\} + n = (n + l) + (-m) \)
\(= \{n + (-m)\} + l= l + \{(-m) + n\}\)
・\(\{(-l) + m\} + n = (m + n) + (-l) = (-l) + (m + n)\)
であるから，\(x, y, z\) のうち2つが正で1つが負のとき，
\((x + y) + z = x + (y + z)\) である．
(iii) 自然数 \(l, m, n\) に対し，
・\(\{l + (-m)\} + (-n) = l + \{-(m+ n)\}\)
\(= l + \{(-m) + (-n)\}\)
・\(\{(-l) + m\} + (-n) = m + \{-(l + n)\}\)
\(= \{m + (-n)\} + (-l) = (-l) + \{m + (-n)\}\)
・\(\{(-l) + (-m)\} + n = n + \{(-m + l)\}\)
\(= \{n + (-m)\} + (-l) = (-l) + \{(-m) + n\}\)
であるから，\(x, y, z\) のうち1つが正で2つが負のとき，
\((x + y) + z = x + (y + z)\) である．
(iv) 自然数 \(l, m, n\) に対し，
\(\{(-l) + (-m)\} + (-n) = -(l + m + n)\)
\(= (-l) + \{(-m) + (-n)\}\)
であるから，\(x, y, z\) が負のとき，
\((x + y) + z = x + (y + z)\) である．