整数の乗法について，自然数と同様の性質が成り立ちます．
◇整数の乗法の性質◇
$x,y,z$ を整数とする．
- ① $1⋅x=x⋅1=x$
- ② $(xy)z=x(yz) $ [結合法則]
- ③ $xy=yx$ [交換法則]
自然数の場合と同様に，結合法則により $xyz$ と括弧を省略して書くことができます．また，交換法則を用いることで、次のように工夫して計算できます．
- \( 25 \times 7 \times (-6) = 25 \times (-6) \times 7 = (-150) \times 7 = -1050 \)
①，②は \( x, y, z \) の正負で分けて，次のように証明できます． $x,y,z$が自然数のときは既に示されているので，残りの場合を調べます．
- ①(i) \( x = 0 \) のとき，\( 1 \cdot x = 0, \, x \cdot 1 = 0 \) であるから，\( 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \) である．
(ii) 自然数 \( n \) に対し，\( 1 \cdot (-n) = -n = (-n) \cdot 1 \) であるから，\( x \) が負のとき，\( 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \) である．■ - ②(i) 整数 \( p, q \) に対し，
\( 0 = (p \cdot q) \cdot 0 = (p \cdot 0) \cdot q = (0 \cdot p) \cdot q \)
\( = p \cdot (q \cdot 0) = p \cdot (0 \cdot q) = 0 \cdot (p \cdot q) \)
であるから，\( x, y, z \) のうち少なくとも1つが0のとき，\( (xy)z = x(yz) \) である．
(ii) 自然数 \( l, m, n \) に対し，
・\(\ (l\cdot m)\cdot (-n)=-{(lmn)}\)
\(=l\cdot \{-(mn)\}=l\cdot \{m\cdot (-n)\}\)
・\(\ \{l\cdot (-m)\}\cdot n=\{-(lm)\}\cdot n=-(lmn) \)
\(=l\cdot \{-(mn)\}=l\cdot \{(-m)\cdot n\}\)
・\(\ \{(-l)\cdot m\}\cdot n=\{-(lm)\}\cdot n\)
\( =-(lmn)=(-l)\cdot (m\cdot n)\)
であるから，\( x, y, z \) のうち2つが正で1つが負のとき，\( (xy)z = x(yz) \) である．
(iii) 自然数 \( l, m, n \) に対し，
・\(\ \{l\cdot (-m)\}\cdot (-n) = \{-(lm)\}\cdot (-n) = lmn \)
\(= l\cdot (mn) = l\cdot \{(-m)\cdot (-n)\}\)
・\(\ \{(-l)\cdot m\}\cdot (-n) = \{-(lm)\}\cdot (-n) = lmn \)
\(= (-l)\cdot\{-(mn)\}=(-l)\cdot \{m\cdot (-n)\}\)
・\(\ \{(-l)\cdot (-m)\}\cdot n = (lm)\cdot n = lmn \)
\(=(-l)\cdot \{-(mn)\}=(-l)\cdot\{(-m)\cdot n\}\)
であるから，\( x, y, z \) のうち1つが正で2つが負のとき，\( (xy)z = x(yz) \) である．
(iv) 自然数 \( l, m, n \) に対し，
\( \{(-l) \cdot (-m)\} \cdot (-n) =(lm)\cdot (-n)\)
\(=-(lmn) = (-l) \cdot(mn)=(-l)\cdot \{(-m) \cdot (-n)\} \)
であるから，\( x, y, z \) が負のとき，\( (xy)z = x(yz) \) である．■
交換法則も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
(1) \( (-15) \cdot 5 \cdot (-6) \cdot (-18) \) を計算せよ．
(2) ③を証明せよ．
解説
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