[2-14] 三分律・反対称律

$x≠0$ のとき，自然数 $n $を用いて $x=n$ または $x=-n$ と表される．
$x=n$ のとき，$n-0=n$ は自然数であるから $x>0$ である．
$x=-n$のとき，$0-(-n)=n$ は自然数であるから$ x<0$ である． よって，すべての整数 $x$ に対し，$x>0，x=0，x<0 $の少なくとも1つは成り立つ．

　・$x>0$ かつ $x=0$ と仮定すると，$x-0=0$ は自然数
　・$x<0$ かつ$ x=0$ と仮定すると，$0-x=0$ は自然数
　・$x>0 $かつ $x<0$ と仮定すると，$x-0=x$ と $0-x=-x$ は
　　ともに自然数より，$x+(-x)=0$ は自然数
であるから，$0$ が自然数となり矛盾する．
よって，$x>0，x=0，x<0$ のうち2つが同時に成り立つことはない．

以上より，$x>0，x=0，x<0$ のうち1つだけが成り立つ．■

①より，$x-y>0$，$x-y=0$，$x-y<0$ の1つだけが成り立つから，$x>y，x=y，x<y $のうち1つだけが成り立つ．■