整数の乗法と順序について，次の性質が成り立ちます．
◇整数の乗法と順序◇
$x,y,z$ を整数とする．
- ① $x<y$，$z>0$ のとき $xz<yz$
- ② $xz<yz$，$z>0$ のとき，$x<y$
- ③ $x<y$，$z<0$ のとき$xz>yz$
- ④ $xz<yz$，$z<0$ のとき，$x>y$
①,②は正の整数をかけても大小関係は変わらないことを表し，③,④は負の整数をかけると大小関係が逆転することを表します．自然数の積は自然数なので，$a>0$，$b>0$ のとき $ab>0$ が成り立ちます．これを用いて次のように証明できます．
- ① $y-x>0$，$z>0$ であるから，$(y-x)z=yz-xz>0$ である．
よって，$xz<yz$ である．■ - ② $x≧y$ と仮定すると，①より $xz≧yz$ であるが，これは $xz<yz$ に
矛盾する．よって，$x<y$ である．■
③,④も同様に示せますが，証明は練習問題にします．
練習問題
③,④を証明せよ．
解説
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