問題3(2) 逆像法による別解（p15）
実数 \(a, b\) が \(-2\sqrt{2}\leqq a\leqq 2\sqrt{2}\)，\(b\geqq a^3-a\) を満たすときの \(a-2b\) の最大値を求めよ．
\(ab\) 平面上において \(-2\sqrt{2}\leqq a\leqq 2\sqrt{2}\ \land\ b\geqq a^3-a\) の表す領域 \(D\) に対し，直線 \(l:a-2b=k\) と \(D\) が共有点をもつ実数 \(k\) の最大値を求めればよい．
\(D\) は境界線を含む上図の斜線部のようになり，\(l\) の傾きは \(\frac{1}{2}\)，\(b\) 切片は \(-\frac{1}{2}k\) であるから \(k\) が最大となるのは，
- \(l\) が点 \(\left(-2\sqrt{2},-14\sqrt{2}\right)\) を通るとき
- \(l\) が曲線 \(C:b=a^3-a\ (a>0)\) に接するとき
のどちらかの場合である．
\(l\) が点 \(\left(-2\sqrt{2},-14\sqrt{2}\right)\) を通るのは，
\[k=-2\sqrt{2}-2\cdot\left(-14\sqrt{2}\right)=26\sqrt{2}\]
のときである．
\(b=a^3-a\ (a>0)\) について，\(b’=3a^2-1=\frac{1}{2}\) となるのは \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (<2\sqrt{2})\) のときであり，このとき \(b=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\) であるから，\(l\) が \(C\) に接するのは，
\[k=\frac{1}{\sqrt{2}}-2\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\]
のときである．
以上より，\(a-2b\) の最大値は，\( \displaystyle 26\sqrt{2}\quad\text{（答）} \)