問題29 チェビシェフ多項式の性質（p71）
\(n\) を自然数とする．\(\cos n\theta=T_n(\cos\theta)\) を満たす \(n\) 次式 \(T_n(x)\) の \(x^n\) の項の係数を求めよ．
\(\ \ \ \ \ \begin{cases}T_1(x)=x,\quad T_2(x)=2x^2-1\quad(\because\ (2))\\ T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)\quad(n=1,2,3,\ldots)\quad(\because\ (3))\end{cases}\)
であるから，\(T_n(x)\) の \(x^n\) の項の係数を \(a_n\) とすると，
\(\ \ \ \ \ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=2a_{n+1}\quad(n=1,2,3,\ldots)\)
よって，\(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n\ (n=1,2,3,\ldots)\) であるから，
\(a_n=1\cdot2^{n-1}=2^{n-1}\)（答）
補足\(\cos n\theta=T_n(\cos\theta)\) を満たす \(n\) 次式 \(T_n(x)\) がただ1つ存在することは (3) と多項式の一致の定理から分かる．