問題30 シャンクスの多項式の性質（p76）
\(n\) を整数，\(f(x)=x^3-nx^2-(n+3)x-1\)，\(g(x)=-\dfrac{1}{x+1}\) とする．\(\alpha\) が方程式 \(f(x)=0\) の解であるとき，方程式 \(f(x)=0\) の3解は \(x=\alpha,\ g(\alpha),\ g(g(\alpha))\) であることを示せ．
\(f(-1)=1>0\)，\(f(0)=-1<0\) であるから，方程式 \(f(x)=0\) は \(x<-1\)，\(-1<x<0\)，\(0<x\) の範囲に1つずつ解をもつ．
よって，\(\alpha\ne-1\) であるから，\(g(\alpha)\) は定義され，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}f(g(\alpha))&=-\frac1{(\alpha+1)^3}-\frac n{(\alpha+1)^2}+\frac{n+3}{\alpha+1}-1\\ &=-\frac{\alpha^3-n\alpha^2-(n+3)\alpha-1}{(\alpha+1)^3}\\ &=-\frac{f(\alpha)}{(\alpha+1)^3}=0\end{aligned}\)
（\(\because\ \alpha\) は方程式 \(f(x)=0\) の解）
よって，\(g(\alpha)\) は方程式 \(f(x)=0\) の解であるから，\(g(\alpha)\ne-1\) であり，\(g(g(\alpha))\) も解である．
- \(\alpha<-1\) のとき，\(g(\alpha)>0\)，\(-1<g(g(\alpha))<0\)
- \(-1<\alpha<0\) のとき，\(g(\alpha)<-1\)，\(g(g(\alpha))>0\)
- \(\alpha>0\) のとき，\(-1<g(\alpha)<0\)，\(g(g(\alpha))<-1\)
であるから，方程式 \(f(x)=0\) の3解は
\(\ \ \ x=\alpha,\ g(\alpha),\ g(g(\alpha))\quad\blacksquare\)