問題31 ベクトルを用いた別解（p77）
下の図において，四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は平行四辺形である．\(\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}\) を求めよ．
点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{EC}\) 上にあるから，\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{AE}}+s\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)（\(s\)：実数）と表され，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&=(1-s)\cdot\frac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})\\ &=\frac{1+s}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\overrightarrow{\mathrm{AD}}\quad\cdots\text{①}\end{aligned}\)
点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{FG}\) 上にあるから，\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AF}}+t\overrightarrow{\mathrm{AG}}\)（\(t\)：実数）と表され，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AP}}&=(1-t)\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac23\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)+t\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac14\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)\\ &=\frac{4-3t}{4}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2+t}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\quad\cdots\text{②}\end{aligned}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}\) は1次独立であるから，①, ②より，
\(\ \ \ \ \ \frac{1+s}{2}=\frac{4-3t}{4}\quad\land\quad s=\frac{2+t}{3}\)
よって，\(s=\dfrac8{11}\)，\(t=\dfrac2{11}\) であるから，
\(\ \ \ \ \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{19}{22}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac8{11}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)
点 \(\mathrm{Q}\) は直線 \(\mathrm{AP}\) 上にあるから，\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)（\(k\)：実数）と表され，
\(\ \ \ \ \ \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{19}{22}k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac8{11}k\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)
点 \(\mathrm{Q}\) は辺 \(\mathrm{BC}\) 上にあるから，
\(\ \ \ \ \ \frac{19}{22}k=1\quad\therefore\ k=\frac{22}{19}\)
\(\therefore\ \mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=19:3\)（答）