問題35 関数の値域を考える別解（p83）
\(\triangle \mathrm{ABC}\) は鋭角三角形であり，\(\angle \mathrm{A}=\dfrac{\pi}{3}\) であるとする．また，\(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の半径は1であるとする．\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内接円の半径 \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ．
正弦定理より，
\(\ \ \ \ \ \mathrm{BC}=2\cdot1\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt3\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心を \(\mathrm{P}\) とし，\(\angle \mathrm{ABC}=2\alpha\) とすると，
\(\ \ \ \ \ \angle \mathrm{PBC}=\alpha,\quad\angle \mathrm{PCB}=\frac12\left(\pi-\frac{\pi}{3}-2\alpha\right)=\frac{\pi}{3}-\alpha\)
であるから，\(\alpha\) のとりうる値の範囲は，\(0<2\alpha<\dfrac{\pi}{2}\ \land\ 0<\dfrac23\pi-2\alpha<\dfrac{\pi}{2}\) を解いて，
\(\ \ \ \ \ \frac{\pi}{12}<\alpha<\frac{\pi}{4}\)
\(t=\tan\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)\) とおくと，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}\tan\alpha&=\tan\left(\frac{\pi}{6}+\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &=\frac{\tan\frac{\pi}{6}+\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}{1-\tan\frac{\pi}{6}\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}\\ &=\frac{\frac1{\sqrt3}+t}{1-\frac1{\sqrt3}t}=\frac{1+\sqrt3t}{\sqrt3-t}\text{，}\end{aligned}\)
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}\tan\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)&=\tan\left(\frac{\pi}{6}-\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &=\frac{\tan\frac{\pi}{6}-\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}{1+\tan\frac{\pi}{6}\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}\\ &=\frac{\frac1{\sqrt3}-t}{1+\frac1{\sqrt3}t}=\frac{1-\sqrt3t}{\sqrt3+t}\end{aligned}\)
であるから，点 \(\mathrm{P}\) から辺 \(\mathrm{BC}\) に垂線 \(\mathrm{PH}\) を下ろすと，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}\sqrt3&=\mathrm{BH}+\mathrm{CH}=\frac{r}{\tan\alpha}+\frac{r}{\tan\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}\\ &=\left(\frac{\sqrt3-t}{1+\sqrt3t}+\frac{\sqrt3+t}{1-\sqrt3t}\right)r\\ &=\frac{2\sqrt3(1+t^2)}{1-3t^2}r\end{aligned}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \therefore\ r=\frac{1-3t^2}{2(1+t^2)}=\frac{2}{1+t^2}-\frac32\)
\(-\dfrac{\pi}{12}<\alpha-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{\pi}{12}\) であるから，\(t^2\) のとりうる値の範囲は，
\(\displaystyle \ \ \ \ \ 0\leqq t^2 \lt\tan^2\frac{\pi}{12}\ \left(=\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{1+\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}=7-4\sqrt3\right)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \therefore\ \frac{2}{1+(7-4\sqrt3)}-\frac32<r\leqq\frac{2}{1+0}-\frac32\)
\(\therefore\ \dfrac{\sqrt3-1}{2}<r\leqq\dfrac12\)（答）