問題16 図形的考察による別解（p44）
\(k\) は \(0\) でない実数とする．座標平面上で \(x^2+y^2<k^2\) を満たす点 \((x,\ y)\) 全体の集合を \(A\)，\(y\geqq\frac{1}{2}x^2-2k\) を満たす点 \((x,\ y)\) 全体の集合を \(B\) とする．\(A\subset B\) となるような \(k\) の値の範囲を求めよ．
2点 \((0,\ 0),\ \left(t,\frac{1}{2}t^2-2k\right)\) の距離を \(d(t)\) とすると，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}d(t)&=\sqrt{t^2+\left(\frac{1}{2}t^2-2k\right)^2}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}t^4-(2k-1)t^2+4k^2}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}\left\{t^2-2(2k-1)\right\}^2+4k-1}\end{aligned}\)
\(t\) が実数全体を動くとき，\(t^2\) のとりうる値の範囲は \(t^2\geqq0\) であるから，\(d(t)\) の最小値は，
- \(2k-1>0\) のとき，\(d\left(\pm\sqrt{2(2k-1)}\right)=\sqrt{4k-1}\)
- \(2k-1\leqq0\) のとき，\(d(0)=\sqrt{4k^2}=2|k|\)
また，\((0,\ 0)\in A\) であるから，
\(\ \ \ \ \ A\subset B\ \Rightarrow\ (0,\ 0)\in B\ \Leftrightarrow\ 0\geqq-2k\ \Leftrightarrow\ k>0 （\because\ k\ne0 ）\)
よって，
\(\ \ \ \ \ A\subset B\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}k>0\\\left(d(t)\text{ の最小値}\right)\geqq|k|\end{cases}\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{cases}k>0\\2k-1>0\\\sqrt{4k-1}\geqq k\end{cases}\ \vee\ \begin{cases}k>0\\2k-1\leqq0\\2k\geqq k\end{cases}\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{cases}k>\frac{1}{2}\\4k-1\geqq k^2\end{cases}\ \vee\ 0<k\leqq\frac{1}{2}\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \frac{1}{2}<k\leqq2+\sqrt3\ \vee\ 0<k\leqq\frac{1}{2}\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ 0<k\leqq2+\sqrt3\)
\(\therefore\ 0<k\leqq2+\sqrt3\) （答）