問題6 文字消去による別解（p21）
「\(x^2+y^2=k，\)\( \displaystyle (x^2+y^2)^2-(3x^2-y^2)y=0，\)\( \displaystyle x\geqq0，y\geqq0\) を満たす実数 \(x,y\) が存在する」\(\cdots(*)\) を満たす実数 \(k\) の最大値を求めよ．
\(x^2+y^2=k\) のとき，
\[\begin{aligned}(x^2+y^2)^2-(3x^2-y^2)y=0&\Longleftrightarrow k^2-(3k-4y^2)y=0\\&\Longleftrightarrow4y^3-3ky+k^2=0\end{aligned}\]
であり，
「\(x^2+y^2=k，x\geqq0，y\geqq0\) を満たす実数 \(x\) が存在する」
\[\Longleftrightarrow k\geqq0\ \land\ 0\leqq y\leqq\sqrt{k}\]
であるから，\(g(y)=4y^3-3ky+k^2\) とおくと，
\((*)\Longleftrightarrow\)「\(g(y)=0\ \land\ k\geqq0\ \land\ 0\leqq y\leqq\sqrt{k}\) を満たす実数 \(y\) が存在する」\(\cdots(**)\)
ここで，\(k\geqq0\) のとき，\(g(0)=k^2\geqq0，g(\sqrt{k})=k\sqrt{k}+k^2\geqq0\) であり，
\[g'(y)=12y^2-3k=12\left(y+\frac{\sqrt{k}}2\right)\left(y-\frac{\sqrt{k}}2\right)\]
であるから，
\[\begin{aligned}(**)&\Longleftrightarrow g(0)=0\vee g(\sqrt{k})=0\vee \begin{cases}0<\dfrac{\sqrt{k}}2<\sqrt{k}\\g\left(\dfrac{\sqrt{k}}2\right)\leqq0\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow k=0 \vee k=0 \vee \begin{cases}k>0\\k\sqrt{k}\cdot(\sqrt{k}-1)\leqq0\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow k=0 \vee \begin{cases}k>0\\\sqrt{k}\leqq1\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow0\leqq k\leqq1\end{aligned}\]
よって，\(k\) の最大値は，\( \displaystyle 1\quad\text{(答)} \)