問題5(2) 逆像法による別解（p19）
実数 \(s,t\) が \(\dfrac12s^2-\dfrac12\leqq t\leqq\dfrac14s^2\) を満たすときの \(t+ms\) の最大値と最小値を求めよ．ただし，\(m\) は \(m\geqq0\) を満たす定数とする．
\(st\) 平面において，\(\dfrac12s^2-\dfrac12\leqq t\leqq\dfrac14s^2\) の表す領域 \(D\) と直線 \(l:t+ms=k\) が共有点をもつような実数 \(k\) の最大値と最小値を求めればよい．
\(D\) は境界線を含む上図の斜線部であり，\(l\) の傾きは \(-m\ (\leqq0)\)，\(t\) 切片は \(k\) であるから，\(t+ms\) は \((s,t)=\left(\sqrt2，\dfrac12\right)\) で最大値 \(\sqrt2m+\dfrac12\) をとる．
\(s\) の関数 \(t=\dfrac12s^2-\dfrac12\) について，\(t’=s=-m\) となる \(s\) が \(-\sqrt2<s\leqq0\) の範囲にあるのは \(-\sqrt2<-m\leqq0\) のとき，つまり \(0\leqq m<\sqrt2\) のときである．
よって，\(t+ms\) は，
- \(0\leqq m<\sqrt2\) のとき，\((s,t)=\left(-m，\dfrac12m^2-\dfrac12\right)\) で最小値 \(-\dfrac12m^2-\dfrac12\)
- \(m\geqq\sqrt2\) のとき，\((s,t)=\left(-\sqrt2，\dfrac12\right)\) で最小値 \(-\sqrt2m+\dfrac12\)
をとる．
以上より，
最大値：\(\sqrt2m+\dfrac12\)，\( \text{最小値：}\displaystyle \text{}\begin{cases}-\dfrac12m^2-\dfrac12&(0\leqq m<\sqrt2)\\-\sqrt2m+\dfrac12&(m\geqq\sqrt2)\end{cases}\quad\text{(答)} \)