問題4 面積を用いた積分計算と逆像法による別解（p17）
\(F(x)=\dfrac{1}{x}\int_{2-x}^{2+x}|t-x|\,dt\quad(x>0)\) の最小値を求めよ．
「\(x\) の方程式 \(F(x)=k\) が \(x>0\) の範囲に実数解をもつ」\(\cdots(*)\)
を満たす実数 \(k\) の最小値を求めればよい．
(i) \(0<x\leqq1\) のとき，\(x\leqq2-x\) であるから，下図の斜線部の面積を考えて，
\[F(x)=\frac1x\cdot\frac{\{(2-2x)+2\}\cdot2x}{2}=4-2x\]
(ii) \(x>1\) のとき，\(2-x<x<2+x\) であるから，下図の面積を考えて，
\[F(x)=\frac1x\cdot\left\{\frac12(2x-2)^2+\frac12\cdot2^2\right\}=2x+\frac4x-4\]
\[\begin{aligned} \begin{cases}x>0\\F(x)=k\end{cases} &\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}0<x\leqq1\\4x-2x^2=kx\end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases}x>1\\2x^2+4-4x=kx\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}0<x\leqq1\\-2(x-1)^2+2=kx\end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases}x>1\\2(x-1)^2+2=kx\end{cases} \end{aligned}\]
であるから，
\((*)\Longleftrightarrow\)「曲線 \(C:y=\begin{cases}-2(x-1)^2+2&(0<x\leqq1)\\2(x-1)^2+2&(x>1)\end{cases}\) と直線 \(l:y=kx\) が共有点をもつ」\(\cdots(**)\)
方程式 \(2x^2-(k+4)x+4=0\) の判別式を \(D\) とすると，
\[D=(k+4)^2-4\cdot2\cdot4=(k+4+4\sqrt2)(k+4-4\sqrt2)\]
であるから，\(C\) と \(l\) が接するのは \(k=4\sqrt2-4\) のときである．
よって，
\[(**)\Longleftrightarrow k\geqq4\sqrt2-4\]
であるから，\(F(x)\) の最小値は，
\[4\sqrt2-4\quad\text{(答)}\]