問題5(2) 円に注目した別解（p20）
実数 \(x,y\) が \(x^2+y^2\leqq1\) を満たすときの \(xy+m(x+y)\) の最大値と最小値を求めよ．ただし，\(m\) は \(m\geqq0\) を満たす定数とする．
\(x=r\cos\theta，y=r\sin\theta\ (r\geqq0，\theta：\text{実数})\) とおくと，
\[x^2+y^2\leqq1\Longleftrightarrow0\leqq r\leqq1\]
であり，\(A=xy+m(x+y)\) とおくと，
\[A=r^2\sin\theta\cos\theta+mr(\sin\theta+\cos\theta)\]
\(u=\sin\theta+\cos\theta\) とおくと，
\[\begin{aligned}A&=r^2\cdot\frac12\{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1\}+mr(\sin\theta+\cos\theta)\\&=\frac12r^2(u^2-1)+mru=\frac12(ru+m)^2-\frac12r^2-\frac12m^2\end{aligned}\]
また，\(u=\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)\) であるから，\(u\) のとりうる値の範囲は，
\[-\sqrt2\leqq u\leqq\sqrt2\]
\(r=0\) のとき \(A=0\) であり，\(0<r\leqq1\) を固定して \(u\ (-\sqrt2\leqq u\leqq\sqrt2)\) を動かすと，
・\(A\) の最大値は \(\dfrac12r^2+\sqrt2mr\quad(u=\sqrt2)\quad\left(\because-\dfrac mr\leqq0\right)\)
・\(A\) の最小値は
\[\begin{cases}-\sqrt2<-\dfrac mr\ \left(\dfrac{1}{\sqrt2}m<r\right)\text{ のとき}-\dfrac12r^2-\dfrac12m^2 (u=-\frac{m}{r})\\[6pt]-\dfrac mr\leqq-\sqrt2\ \left(r\leqq\dfrac{1}{\sqrt2}m\right)\text{ のとき}\dfrac12r^2-\sqrt2rm (u=-\sqrt{2})\end{cases}\]
（これらの結果は \(r=0\) のときも成立する）
\(r\ (0\leqq r\leqq1)\) を動かすと，\(\dfrac12r^2+\sqrt2mr=\dfrac12(r+\sqrt2m)^2-m^2\) の最大値は，
\[\sqrt2m+\frac12\quad(r=1)\]
\(r\ (0\leqq r\leqq1)\) を動かすと，
\[\begin{cases}-\dfrac12r^2-\dfrac12m^2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}m<r\right)\\[6pt]\dfrac12r^2-\sqrt2rm=\dfrac12(r-\sqrt2m)^2-m^2\left(r\leqq\dfrac{1}{\sqrt2}m\right)\end{cases}\]
の最小値は，
\[\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt2}m<1\ (0\leqq m<\sqrt2)\text{ のとき，}-\dfrac12m^2-\dfrac12\\[6pt]1\leqq\dfrac{1}{\sqrt2}m\ (m\geqq\sqrt2)\text{ のとき，}-\sqrt2m+\dfrac12\end{cases}\]
以上より，\(xy+m(x+y)\) の最大値と最小値は，
最大値：\(\sqrt2m+\dfrac12\)，\( \displaystyle \text{最小値：}\begin{cases}-\dfrac12m^2-\dfrac12&(0\leqq m<\sqrt2)\\-\sqrt2m+\dfrac12&(m\geqq\sqrt2)\end{cases}\quad\text{(答)} \)