問題17 全称条件に注目した別解（p46）
\[\begin{cases}P(0)=1\\P(x+1)-P(x)=2x\end{cases}\quad\cdots(*)\]
を満たす整式 \(P(x)\) を求めよ．
\(\ \ \ (*)\ \Rightarrow\ P(0)=1\ \land\ P(n+1)=P(n)+2n\quad(n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)\)
\( \displaystyle \ \ \ \ \ \Rightarrow\ P(n)=1+\sum_{k=0}^{n-1}2k\quad(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ P(n)=n^2-n+1\quad(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \left(\because\ \sum_{k=0}^{n-1}2k=\frac{\{0+2(n-1)\}\cdot n}{2}=n^2-n\right)\)
\(\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ P(x)=x^2-x+1\)
（\(\because\ x\) の方程式 \(P(x)=x^2-x+1\) は無限個の解 \(x=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\) をもつ）
逆に，\(P(x)=x^2-x+1\) のとき，\((*)\) は成り立つから，
\(\ \ P(x)=x^2-x+1\) （答）
参考 多項式の一致の定理\(f(x),\ g(x)\) を複素数係数の0でない多項式，\(l\) を \(\deg f(x)<l，\ \deg g(x)<l\) を満たす自然数，\(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_l\) を相異なる複素数とする．\(f(a_k)=g(a_k)\ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ l)\) のとき，\(f(x)=g(x)\) である．
＜証明＞
\(f(x)-g(x)\ne0\) と仮定すると，\(\deg\{f(x)-g(x)\}<l\) であるが，\(f(x)-g(x)\) は \(l\) 次式 \((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_l)\) を因数にもつから矛盾する．\(\blacksquare\)