問題26 実数解の個数の性質（p64）
方程式 \(2^x-1=\log_2(x+1)\) の実数解をすべて求めよ．
\(f(x)=2^x-1，\ g(x)=\log_2(x+1)\ \ (x>-1)\) とおくと，
\(\displaystyle \ \ \ \ \ f'(x)=2^x\log2，\quad f”(x)=2^x(\log2)^2>0，\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ g'(x)=\frac{1}{(x+1)\log2}，\quad g”(x)=-\frac{1}{(x+1)^2\log2}<0\)
であるから，方程式 \(f(x)=g(x)\) の実数解は2個以下である．
また，\(f(0)=g(0)=0，\ f(1)=g(1)=1\) であるから，実数解は，
\(\ \ \ x=0,\ 1\) （答）
参考 凹凸と実数解の個数\(f(x),\ g(x)\) を2回微分可能な関数で \(f”(x)>0，\ g”(x)<0\) を満たすものとする．このとき，方程式 \(f(x)=g(x)\) の実数解は2個以下である．
＜証明＞
\(h(x)=f(x)-g(x)\) とおくと，\(h”(x)=f”(x)-g”(x)>0\) であるから，方程式 \(h'(x)=0\) の実数解の個数を \(N\) とすると，\(N\leqq1\) である．
(i) \(N=0\) のとき，\(h'(x)\) の符号は一定より，\(h(x)\) は単調関数であるから，方程式 \(h(x)=0\) の実数解の個数を \(M\) とすると，\(M\leqq1\) である．
(ii) \(N=1\) のとき，方程式 \(h'(x)=0\) の実数解を \(x=\alpha\) とすると，\(h(x)\) の増減は以下の表のようになるから，\(M\leqq2\) である．\(\blacksquare\)
