問題18 余りを求める部分の別解（p48）
多項式 \(f(x)\) は \((x+1)^2\) で割ると1余り，\((x-1)^2\) で割ると2余る．\(f(x)\) を \((x+1)^2(x-1)^2\) で割った余りを求めよ．
\(\ \ \ \ \ \begin{cases}f(x)\equiv1\pmod{(x+1)^2}\\f(x)\equiv2\pmod{(x-1)^2}\end{cases}\)
であるから，以下，法を \((x+1)^2(x-1)^2\) として，
\(\ \ \ \ \ (x-1)^2f(x)\equiv(x-1)^2\quad\cdots\text{①}\)
\(\ \ \ \ \ (x+1)^2f(x)\equiv2(x+1)^2\)
差をとって，\(4xf(x)\equiv x^2+6x+1\ \cdots\)② であるから，\(\text{①}-\text{②}\times\dfrac{x-2}{4}\) として，
\( \displaystyle \ \ \ \ \{(x-1)^2-x(x-2)\}f(x)\\ \displaystyle \ \ \ \ \ \equiv{}(x-1)^2-\frac{1}{4}(x-2)(x^2+6x+1)\)よって，\(f(x)\equiv-\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}\) であるから，求める余りは，
\(\ \ \ -\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}\) （答）
(方法2)\(f(x)\) を \((x+1)^2\) で割ったときの商を \(q(x)\) とすると，余りは1であるから，
\(\ \ \ \ \ f(x)=(x+1)^2q(x)+1\)
\(q(x)\) を \((x-1)^2\) で割ったときの商を \(r(x)\)，余りを \(ax+b\) （\(a,\ b\)：定数）とすると，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}f(x)&=(x+1)^2\{(x-1)^2r(x)+ax+b\}+1\\&=(x-1)^2\{(x+1)^2r(x)+ax+4a+b\}\\&\qquad +(8a+4b)x-4a+1\end{aligned}\)
\(f(x)\) を \((x-1)^2\) で割ったときの余りは2であるから，
\(\ \ \ \ \ 8a+4b=0\ \land\ -4a+1=2\)
\(a=-\dfrac{1}{4}，\ b=\dfrac{1}{2}\) より，
\(\ \ \ \ \ \begin{aligned}f(x)&=(x+1)^2\left\{(x-1)^2r(x)-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right\}+1\\&=(x+1)^2(x-1)^2r(x)-\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\end{aligned}\)
であるから，求める余りは，
\(\ \ \ -\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}\) （答）